Costruire la curva di Lorenz con Excel

La curva di Lorenz è un grafico molto utilizzato per rappresentare e studiare la concentrazione del reddito e del benessere esistenti in un Paese in un determinato anno. Lorenz elaborò questo strumento nel 1905 (Methods of measuring the concentration of wealth, «Publications of American Statistical Association», 1905, 9, 70) al fine di misurare e confrontare l’evoluzione dell’ineguaglianza nella distribuzione del reddito e del benessere in un determinato Paese nel corso degli anni. In questo editoriale, dopo una breve illustrazione teorica del grafico, analizziamo le procedure per realizzare la curva di LORENZ attraverso l’applicativo Office Excel.

Pillole di teoria economica sul grafico di Lorenz

La curva di Lorenz si rappresenta graficamente all’interno di un quadrato (grafico) dove sull’asse X si indica la percentuale della popolazione mentre sull’asse Y la percentuale del reddito cumulato.

All’interno del quadrato è presente una bisettrice, nota come “retta di equi-distribuzione”, che indica la perfetta distribuzione del reddito tra la popolazione: come si può notare dalla figura, il 10% del reddito è detenuto dal 10% della popolazione, il 20% del reddito dal 20% della popolazione e così via.

La curva di Lorenz viene rappresentata al di sotto della retta di equi-distribuzione attraverso una “spezzata” i cui punti dipendono dal numero di rilevazioni effettuate (più rilevazioni di dati vengono effettuate più la “spezzata” assume valore di una vera e propria curva).

Una curva di Lorenz che si avvicina alla retta di equi-distribuzione indica una più equa distribuzione del reddito nel Paese di riferimento mentre, al contrario, una curva molto distanziata dalla retta di equi-distribuzione indica che la maggior parte del reddito di quel Paese è in mano a poche persone (questa rappresentazione grafica è tipica dei Paesi in Via di Sviluppo).

Il prospetto dati di Excel necessario per la costruzione della curva di Lorenz

Per costruire la curva di Lorenz occorre conoscere quante persone (la colonna A del prospetto) percepiscono un determinato reddito (colonna B del prospetto) ed ordinare tali dati in ordine crescente di reddito. Dai dati riportati in figura, 160 persone percepiscono un reddito di 7.000 euro annui, 40 persone un reddito di 16.000 euro annui e così via.

Da notare che nella RIGA 2 della tabella abbiamo inserito il numero 0 (zero) sia nella colonna della Popolazione che in quella del Reddito annuale (tale accorgimento ci sarà utile nella creazione del grafico).

Nella colonna C della tabella (POPOLAZIONE CUMULATA) dovranno essere sommate, riga per riga, le persone che percepiscono i diversi scaglioni di reddito. Pertanto, nella cella C2 digiteremo uno 0 (zero) mentre nella cella C3 scriveremo la formula:

=A3+C2

Possiamo successivamente copiare verso il basso questa formula fino all’ultima riga della tabella.

Come si può osservare dai risultati, la terza riga della tabella contiene il numero 200 che sono appunto le 160 persone che percepiscono un reddito di 7.000 euro e le 40 persone che percepiscono un reddito di 16.000 euro. La stessa considerazione vale per le altre righe della tabella; l’ultima cella (C6) contiene, pertanto, il numero complessivo degli abitanti del Paese (nell’esempio 250 persone).

Per calcolare il reddito cumulato occorre moltiplicare il numero degli abitanti per il reddito annuale (celle della colonna A per quelle della colonna B) e sommare, man mano, il risultato con quello della riga appena superiore. In particolare, nella cella D2 possiamo scrivere direttamente uno zero (anziché una moltiplicazione tra celle che contengono uno zero!) mentre, nella cella D3 possiamo utilizzare la seguente formula:

=A3*B3+D2

La formula consente di calcolare il reddito complessivo per ogni riga moltiplicando il numero delle persone (160 posto in A3) per il reddito annuale di ciascuna (7.000 posto in B3) e di sommare il risultato con il reddito posto nella cella superiore della colonna D.

Anche in questo caso, sarà sufficiente copiare la formula verso il basso con il quadratino di riempimento. Da notare che il valore che viene calcolato nella cella D6 (8.660.000 euro) corrisponde al reddito complessivo (Reddito nazionale) del Paese di riferimento.

Le ultime due colonne della tabella sono quelle che, di fatto, ci consentiranno di costruire la curva di Lorenz. In esse occorre inserire, riga per riga, i dati cumulati della Popolazione (colonna C) e del Reddito (colonna D) espressi in percentuale. Nella cella E2 possiamo utilizzare la formula:

=C2/$C$6

L’utilizzo del riferimento assoluto per la cella C6 consente di copiare la formula verso il basso fino all’ultima riga della colonna E.

Come si può osservare dalla figura, la formula restituisce in percentuale la popolazione di ogni riga sul totale della popolazione (indicato nell’ultima riga della colonna C). Così, ad esempio, il risultato della cella E3 (64%) indica il valore percentuale di 160 persone sul totale degli abitanti (250) posto nella colonna C6. Ovviamente, l’ultimo risultato posto nella cella E6 sarà sempre pari al 100%.

Nell’ultima colonna della tabella si utilizza una formula simile alla precedente. In F2 possiamo, pertanto, trascrivere la formula seguente e successivamente copiarla verso il basso:

=D2/$D$6

Al risultato della formula, che divide il reddito cumulato di ogni riga (colonna D) per il reddito complessivo del Paese (posto nella cella D6), dovrà essere assegnato, come nel caso precedente, lo stile percentuale.

Osservando le ultime due colonne della tabella si riesce a capire come è distribuito il reddito tra la popolazione: in particolare, il 64% della popolazione detiene quasi il 13% del reddito complessivo, l’80% della popolazione detiene il poco più del 20% del reddito complessivo, e così via, fino ad arrivare all’ultima riga da dove si evince che il 100% della popolazione detiene (come è ovvio) il 100% del reddito.

La creazione del grafico rappresentante la curva di Lorenz

La curva di Lorenz è un grafico particolare e, pertanto, va costruito “manualmente” (non esiste, difatti, un grafico predefinito che è possibile utilizzare per la sua realizzazione).

Per costruire il grafico selezioniamo innanzitutto una cella al di fuori della tabella (in questo modo eviteremo che Excel crei delle serie di dati inappropriate!) e, successivamente, dalla barra multifunzione INSERISCI, scegliamo il pulsante DISPERSIONE nel gruppo GRAFICI e, dal suo menu, scegliamo il grafico DISPERSIONE CON LINEE RETTE E INDICATORI.

Dalla barra contestuale PROGETTAZIONE, appartenente al gruppo STRUMENTI GRAFICO, utilizziamo il pulsante SELEZIONA DATI e, successivamente, creiamo le serie di dati utilizzando il pulsante AGGIUNGI posto nella finestra SELEZIONA ORIGINE DATI che appare a video.

Creiamo innanzitutto la retta di equi-distribuzione. Dalla finestra MODIFICA SERIE che appare a video digitiamo il nome della retta in corrispondenza di NOME SERIE; successivamente, nella casella di testo VALORI X SERIE selezioniamo le celle E2 (nella quale c’è il valore zero) e E6 (nella quale c’è il valore 1, ovvero 100%) separandole con un punto e virgola (;); infine inseriamo il riferimento alle celle F2 e F6 in corrispondenza della casella di testo VALORI Y SERIE.

All’interno del riquadro del grafico verrà visualizzata una retta di coordinate (0;0) e (1;1).

Creiamo ora la curva di Lorenz aggiungendo una ulteriore serie di dati. Digitiamo nella prima casella di testo della finestra MODIFICA SERIE l’etichetta Curva di Lorenz e selezioniamo gli intervalli E2: E6 come VALORI X SERIE e F2:F6 come VALORI Y SERIE.

Chiudiamo, infine, la finestra MODIFICA SERIE con un clic sul pulsante OK. Il grafico della curva di Lorenz è quasi pronto e necessita solo di qualche altro accorgimento.

Per creare esattamente un quadrato occorre assegnare agli assi una dimensione massima di 1 (ovvero 100%); per fare questa operazione utilizziamo l’icona con il segno più (+) ELEMENTI GRAFICO che appare sulla cornice destra dell’oggetto grafico, e selezioniamo dal menu della voce ASSI, il comando ALTRE OPZIONI.

Dal Riquadro FORMATO ASSE, che appare a destra dell’area di lavoro, modifichiamo il valore MASSIMO portandolo da 1,2 a 1 (ovvero pari al 100%).

Selezioniamo dal menu OPZIONI ASSI, posto in alto nel Riquadro FORMATO ASSE, la voce ASSE VERTICALE (VALORI) ed assegniamo anche per quest’ultimo il valore di 1 in corrispondenza del valore MASSIMO.

Infine, aiutandoci sempre con le voci presenti nel pulsante ELEMENTI GRAFICO, assegniamo un titolo agli assi (% popolazione e % reddito) e al grafico.

Ora che il modello è completo possiamo simulare diverse curve di Lorenz modificando i dati presenti nelle prime due colonne della tabella.